Es wird vermutet, dass eine bestimmte Behandlung einen Einfluss auf den Hämoglobinwert eines Patienten hat. Um dies zu überprüfen, wird bei einer Stichprobe von 10 Patienten, die sich dieser Behandlung unterziehen müssen, der Hämoglobinwert unter standardisierten Bedingungen vor und nach der Behandlung bestimmt (Tabelle 6.3).

Die Formulierung von Null- und Alternativhypothese lautet:

H₀: Die Behandlung hat keinen Einfluss auf den Hb.
H₁: Die Behandlung beeinflusst den Hb.

In Tabelle 6.2 ist die Entscheidungssituation dargestellt.

Tabelle 6.2: Entscheidungssituation beim speziellen Test

Die Entscheidung ist richtig, wenn die Testentscheidung mit der Wirklichkeit übereinstimmt.

Der Fehler 1. Art bedeutet, dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl sie richtig ist. Der Fehler 2. Art bedeutet, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl sie falsch ist.

Beim statistischen Test gibt man eine obere Schranke (z. B. = 0.05) für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art vor und versucht nach dieser Vorgabe die Wahrscheinlichkeit b für den Fehler 2. Art möglichst klein zu halten.

Im allgemeinen wächst die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn man die des Fehlers 1. Art verkleinert. Die beschriebene Behandlung der Fehlerwahrscheinlichkeiten hat zur Folge, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art unter Kontrolle ist ( ), die für den Fehler 2. Art aber nicht. Wenn die Nullhypothese fallen gelassen werden muss, kann nur der Fehler 1. Art auftreten. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist unter Kontrolle. Das Testergebnis darf entsprechend sicher formuliert werden ( "H₀ kann auf dem vorgegebenen Signifikanzniveau verworfen werden" ). Wenn die Nullhypothese nicht fallen gelassen werden darf, kann möglicherweise der Fehler 2. Art auftreten. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist nicht unter Kontrolle. Das Testergebnis muss entsprechend vorsichtig formuliert werden ( "kein Widerspruch zur Nullhypothese" ).

Der Versuchsleiter muss vor der Durchführung des Versuchs entscheiden, wie die Fragestellung als Alternative für den statistischen Test formuliert werden soll. Diese Entscheidung erfolgt nicht unter statistischen Gesichtspunkten, sondern aufgrund inhaltlicher Überlegungen.

Beispiel 6.2

Zur Behandlung einer bestimmten Erkrankung stehen zwei Medikamente A und B zur Verfügung, die beide in der Praxis angewandt werden. Im einfachen Fall einer qualitativen Zielgröße, die nur die Ausprägungen Erfolg und Misserfolg hat, ist es naheliegend, den Anteil p_A der Patienten, die mit Medikament A erfolgreich behandelt werden, mit dem entsprechenden Anteil p_B bei Medikament B zu vergleichen.

Hat der Versuchsleiter a priori keine Vorkenntnisse darüber, ob p_A größer, kleiner oder auch gleich p_B ist, prüft er zweckmäßig die Alternative

H₀: p_A = p_B,

H₁: p_A p_B,

Man nennt diese Alternative zweiseitig, weil die interessierende Differenz p_A - p_B der Erfolgswahrscheinlichkeiten unter H₁ sowohl positiv als auch negativ sein kann.

Ist aufgrund inhaltlicher Überlegungen von vornherein klar, dass p_B mindestens gleich p_A ist oder größer sein sollte, prüft man zweckmäßig die Alternative

H₀: p_A p_B

H₁: p_A < p_B.

Man nennt diese Alternative einseitig, weil die interessierende Differenz p_A - p_B der Erfolgswahrscheinlichkeiten unter H₁ nur auf einer Seite der möglichen Werte sein kann.

Statistischer Test - Power und Fallzahl

Applet - Statistischer Test von Erfolgsraten

6.3 Vorzeichentest

Beim Vorzeichentest geht man bei der zweiseitigen Fragestellung unter H₀ davon aus, dass in jedem Einzelfall die Differenz zwischen dem Hämoglobinwert vor Therapie und dem nach Therapie jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0.5 entweder positiv oder negativ ist. Die Gleichheit beider Werte hält man praktisch für ausgeschlossen und ordnet ihr die Wahrscheinlichkeit 0 zu.

Unter diesen Annahmen folgt die Zufallsvariable D⁺, die die Anzahl der positiven Differenzen angibt, einer Binomialverteilung mit den Parametern n = ‘Anzahl aller Differenzen’ und p = 0.5, d.h., D⁺: B(n, 0.5). Damit ist D⁺ eine Zufallsvariable, deren Verteilung unter der Nullhypothese bekannt ist. Sie lässt sich daher als Teststatistik einsetzen. D⁺ ist die Teststatistik des Vorzeichentests (engl.: sign test).

Tabelle 6.3: Hämoglobinwerte vor und nach der Behandlung

	Hämoglobinwerte
Pat.-Nr.	vorher	nachher	Differenz (vorher - nachher)
1	11.2	9.9	1.3
2	9.4	10.8	-1.4
3	9.9	10.3	-0.4
4	9.3	9.9	-0.6
5	8.9	7.5	1.4
6	8.2	8.9	-0.7
7	10.5	10.4	0.1
8	8.8	8.5	0.3
9	10.3	8.2	2.1
10	9.8	10.1	-0.3

Beispiel 6.3

Aus den Differenzen (vorher - nachher) der Tabelle 6.3 ergibt sich die Anzahl d⁺ der positiven Differenzen:

d⁺: = 5.

Die Null- und Alternativhypothese als Aussagen über p für die einseitige bzw. die zweiseitige Fragestellung lauten:

Einseitig:

H₀: Der Hb wird durch die Behandlung nicht gesenkt (bzw. nicht angehoben).
H₁: Der Hb wird durch die Behandlung gesenkt (bzw. angehoben).

Zweiseitig:

H₀: Der Hb ändert sich unter der Behandlung nicht.
H₁: Der Hb ändert sich unter der Behandlung.

Als obere Grenze für die Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art wird =0.05 festgelegt.

Quantile für den Vorzeichentest-Test (n>=5) Fallzahl n z1 z2

Tabelle 6.4: Wahrscheinlichkeitsfunktion f und Verteilungsfunktion F der Binomialverteilung B(10, 0.5)

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f(x)	0.001	0.010	0.044	0.117	0.205	0.246	0.205	0.117	0.044	0.010	0.001
F(x)	0.001	0.011	0.055	0.172	0.377	0.623	0.828	0.945	0.989	0.999	1

Abbildung 6.3: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung B(10,0.5)

Anhand der Tabelle 6.4, der Abbildung 6.3 und der Javascript-Prozedur erkennt man, dass {d⁺ >8}={9,10} der Verwerfungsbereich für die einseitige und {d⁺ <2} {d⁺ >8} = {0,1,9,10} der Verwerfungsbereich für die zweiseitige Fragestellung ist. Im Beispiel mit d⁺=5 wird die Nullhypothese beibehalten. Dieses Ergebnis wird durch die folgende Javascript-Prozedur noch einmal bestätigt.

Vorzeichentest für verbundene Stichproben Reihe-1 Reihe-2 Differenz    Reihe-1 Reihe-2 Differenz    Reihe-1 Reihe-2 Differenz 01 11 21 02 12 22 03 13 23 04 14 24 05 15 25 06 16 26 07 17 27 08 18 28 09 19 29 10 20 30 n= Summe positiver Vorzeichen: d+ = Summe negativer Vorzeichen d- = Teststatistik: z(0.025)    z(0.975) Testentscheidung:

Der Vorzeichentest berücksichtigt nur das Vorzeichen, nicht aber den Betrag der Differenzen. Daher ist er nicht sehr scharf, d. h. der Unterschied muss schon sehr deutlich sein, damit der Vorzeichentest die Nullhypothese verwirft.

Unter der Schärfe g (auch Macht oder Güte, engl.: power) eines Tests versteht man in der Statistik die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test die Nullhypothese verwirft, wenn sie wirklich falsch ist, als bedingte Wahrscheinlichkeit geschrieben:

g = P(H₀ verwerfen | H₀ falsch). Zwischen der Schärfe eines Tests g und der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ß besteht folgender Zusammenhang : g=1-ß.

6.4 Wilcoxontest für verbundene Stichproben

Ein Test mit im allgemeinen größerer Schärfe als der Vorzeichentest ist der Wilcoxontest, der nicht nur das Vorzeichen sondern auch die Größe der Differenz zwischen den gemessenen Werten berücksichtigt.

Dies geschieht, indem den Absolutbeträgen der Differenzen Rangzahlen zugeordnet werden. Die kleinste Differenz erhält die Rangzahl 1, die größte die Rangzahl n . Danach bildet man R⁺, die Summe der Rangzahlen, die den positiven, und R^-, die Summe der Rangzahlen, die den negativen Differenzen zugeordnet wurden. Offenbar gilt:

R⁺+R^- = 1+2+3+...+n = n(n+1)/2,

eine Identität, die sich zur Rechenkontrolle einsetzen lässt.

R⁺ ist die Teststatistik des Wilcoxontests. Die Verteilung von R⁺ unter der Nullhypothese lässt sich berechnen. Tabelle 6.6 enthält den Teil, den man zur Lösung des Beispiels benötigt.

Tabelle 6.5: Hämoglobindifferenzen und Rangzahlen

	Hämoglobin			Rangzahl der
Pat.-Nr.	vorher	nachher	Differenz (vorher-nachher)	Absolutbeträge
1	11.2	9.9	1.3	7
2	9.4	10.8	-1.4	8.5
3	9.9	10.3	-0.4	4
4	9.3	9.9	-0.6	5
5	8.9	7.5	1.4	8.5
6	8.2	8.9	-0.7	6
7	10.5	10.4	0.1	1
8	8.8	8.5	0.3	2.5
9	10.3	8.2	2.1	10
10	9.8	10.1	-0.3	2.5

Beispiel 6.4

Aus den Angaben der Tabelle 6.5 berechnet man die Summe r⁺ der Rangzahlen der positiven und die Summe r^- der Rangzahlen der negativen Differenzen:

r⁺= 29                         r^-= 26                   ,

Rechenkontrolle: r⁺+r^- = 29 + 26 = n(n+1)/2 = (10^.11)/2 = 55.

r⁺ ist die Prüfgröße des Wilcoxontests.

Die zweiseitige Formulierung lautet:

H₀: Der Hb ändert sich unter der Behandlung nicht.
H₁: Der Hb ändert sich unter der Behandlung.

Als obere Grenze für die Irrtumswahrscheinlichkeit wird =0.05 festgelegt.

Anhand der Tabelle 6.6 für den Wilcoxontest für paarige Stichproben bzw. der folgenden Javascript-Prozedur bilden die Quantile w(10;0.025)=9 und w(10;0.975)=46 die Grenzen des zugehörigen Verwerfungsbereichs Die Prüfgröße r⁺=29 liegt innerhalb dieses Intervalls. Daher darf die Nullhypothese nicht verworfen werden.

Quantile für den Wilcoxon-Test (n>=6) Fallzahl n w1 w2

Tabelle 6.6: Quantile w(n; a ) für den Wilcoxontest

	n
a	5	6	7	8	9	10	11	12
0.025	--	1	3	4	6	9	11	14
0.975	--	20	25	32	39	46	55	64
0.05	1	3	4	6	9	11	14	18
0.95	14	18	24	30	36	44	52	60

Wilcoxon-Test für verbundene Stichproben Reihe-1 Reihe-2 Differenz Rang Reihe-1 Reihe-2 Differenz Rang Reihe-1 Reihe-2 Differenz Rang 01 11 21 02 12 22 03 13 23 04 14 24 05 15 25 06 16 26 07 17 27 08 18 28 09 19 29 10 20 30 n= Rangsummen: R+ = R- = Teststatistik: w(0.025) w(0.975) Testentscheidung:

Applet-Binomial- und Poissonverteilung

Javascript und Applet - diskrete Verteilungen

Applet-Statistischer Test - Power und Fallzahl

Applet-Statistischer Test von Erfolgsraten

Javascript - Vorzeichentest für verbundene Stichproben

Javascript - Wilcoxon-Test für verbundene Stichproben

MC-Fragen zu Kapitel 6

Übungen zu Kapitel 6

Musterlösung zu den Übungen

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