Bernoulli- und Binomialverteilung sind zwei spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in den Anwendungen häufig auftreten. Deshalb sollen sie hier etwas ausführlicher betrachtet werden.

Es wird zwölfmal gewürfelt und gefragt, wie oft dabei eine 6 erscheint. Diese Anzahl X ist ein Beispiel für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den speziellen Parametern n=12 für die Anzahl der Würfe und p = 1/6 für die Wahrscheinlichkeit einer 6 in jedem einzelnen der 12 Würfe. Man schreibt abkürzend:

X: B(n=12 ; p=1/6)

Allgemein ergibt sich eine binomialverteilte Zufallsvariable X: B(n,p) unter folgenden Bedingungen:

- In einem Versuch tritt ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit P(A) =p ein. (Beim Würfeln ist das die 6, die mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 gewürfelt wird).

- Dieser Versuch wird n-mal unter identischen Bedingungen wiederholt. (Im Beispiel wird 12-mal gewürfelt).

Die binomialverteilte Zufallsvariable X gibt an, wie oft A bei den n Versuchswiederholungen eintritt. X kann offenbar die Werte 0,1,...,n annehmen. X = n bedeutet, dass in allen n Versuchswiederholungen das Ereignis A eingetreten ist, z. B. dass in allen 12 Würfen die 6 gekommen ist. Das wäre zwar recht überraschend, aber keineswegs ausgeschlossen.

Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit

P( X = k ) (k=0,1,...,n),

mit der X den möglichen Wert k annimmt.

Man findet

Der Beweis für diese Formel soll am Würfelbeispiel X: B(12 ; 1/6) kurz skizziert werden. Wir fragen beispielsweise nach P(X=3) . Jedes Ergebnis des 12-maligen Würfelns lässt sich durch eine 12-stellige Folge von 6 und beschreiben. Dabei steht '6' für das Würfeln einer 6 und '' für das Würfeln einer von 6 verschiedenen Zahl. Ein mögliches Ergebnis wäre z. B.

X=3 bedeutet dann, dass in dieser Folge genau dreimal eine 6 und 9-mal eine steht.

Es gibt verschiedene solcher Folgen, denn jede Folge entspricht genau einer Möglichkeit, aus den 12 Plätzen 3 auszuwählen und sie mit einer 6 zu besetzen.

Jede einzelne dieser Folgen hat wegen der Unabhängigkeit der Versuchswiederholungen die Wahrscheinlichkeit . Da das Ereignis {X=3} aus genau solcher Folgen besteht, ergibt sich insgesamt

,

genau wie es die Formel behauptet.

Das Ergebnis einer einzelnen der n Versuchswiederholungen lässt sich ebenfalls durch eine Zufallsvariable beschreiben:

.

Offenbar ist Y_i:B(1,p) der Spezialfall für n=1 einer Binomialverteilung. Diesen Spezialfall nennt man Bernoulliverteilung. Aus der Definition folgt unmittelbar

;

d.h., jede Binomialverteilung ist als Summe von n unabhängigen Bernoulliverteilungen darstellbar.

.

Für den Erwartungswert E(X) folgt nun

.

Bei der Berechnung der Varianz V(X) macht man sich die - hier nicht bewiesene - Tatsache zunutze, dass sich die Varianzen unabhängiger Zufallsvariablen addieren, daher also

.

Die Abbildungen 5.3 bis 5.5 zeigen die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Binomialverteilungen B(10,0.3), B(10,0.5) und B(10,0.7). Man erkennt, dass sich der Gipfel der Verteilung mit wachsendem p nach rechts verlagert.

Beispiel 5.3

Ein Kinderarzt weiss aus Erfahrung, dass 20 % aller Neugeborenen nach unauffälliger Schwangerschaft weniger als 2500 g wiegen. Mehrlingsgeburten sind dabei ausgeschlossen. Aus den entsprechenden Geburtsprotokollen des vergangenen Jahres entnimmt er eine zufällige Stichprobe von n = 10 Protokollen. Die Anzahl der Protokolle, in denen ein Geburtsgewicht von weniger als 2500 g dokumentiert ist, ist eine diskrete binomialverteilte Zufallsvariable X. X kann die Werte 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X ist in Tabelle 5.1 zusehen, der Graph in Abbildung 5.6.

 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion der Binomialverteilung 
 p =     n =     k =  

 

 f(k) = P(X=k)    

 F(k) = P(X<=k)      1-F(k)  

 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion der Binomialverteilung 
 p =     n =     k =  

 

 f(k) = P(X=k)    

 F(k) = P(X<=k)      1-F(k)