Abbildung 2.2: Kreisdiagramm für das Merkmal Besserung nach Salbenbehandlung

entspricht der absoluten bzw. der relativen Häufigkeit der Ausprägung der Flächeninhalt des zugeordneten Segments.

Abbildung 2.3: Flächendiagramm für das Merkmal Besserung nach Salbenbehandlung

Applet - Graphische Darstellung von qualitativen Merkmalen

2.3 Tabellarische und graphische Darstellung bei quantitativen Merkmalen

Die Darstellung für ein quantitativ diskretes Merkmal folgt im wesentlichen der bei den qualitativen Merkmalen. Zusätzlich werden die absoluten und die relativen Häufigkeitssummen betrachtet, die definiert sind als

  (i = 1,2,...,k)   absolute Häufigkeitssumme,

  (i = 1,2,...,k)   relative Häufigkeitssumme.

Diese Definition benutzt die Tatsache, dass die Ausprägungen eines quantitativ diskreten Merkmals stets in natürlicher Weise von den kleinen zu den großen Werten geordnet sind. N_i bzw. H_i geben dann Antwort auf die Frage, wie groß die Anzahl bzw. der Anteil der Beobachtungseinheiten mit Ausprägungen kleiner oder gleich der i-ten Ausprägung ist (i = 1,2,...k). Die geeignete graphische Darstellung für die Häufigkeiten bei einem diskreten Merkmal ist das im wesentlichen dem Blockdiagramm entsprechende Stabdiagramm

Beispiel 2.2

In einer Therapiestudie wurden die Häufigkeiten für das diskrete Merkmal Anzahl der gemeldeten Nebenwirkungen ermittelt. Tabelle 2.3 enthält das Ergebnis. In Abbildung 2.4 sind die Häufigkeiten als Stabdiagramm dargestellt.

Tabelle 2.3: Häufigkeiten für das quantitativ diskrete Merkmal Anzahl der Nebenwirkungen

Anzahl der Nebenwirkungen	absolute Häufigkeit	relative Häufigkeit (%)	absolute Häufigkeitssumme	relative Häufigkeitssumme
0	209	41.8%	209	41.8%
1	122	24.4%	331	66.2%
2	108	21.6%	439	87.8%
3	44	8.8%	483	96.6%
4	13	2.6%	496	99.2%
5	0	0.0%	496	99.2%
6	4	0.8%	500	100.0%

Abbildung 2.4: Stabdiagramm für das Merkmal Anzahl gemeldeter Nebenwirkungen

Applet - Explorative Datenanalyse -- Datensatz "AML" - Stabdiagramm "Anzahl der Geschwister"

Wenn man die Häufigkeitsverteilung eines quantitativ stetigen Merkmals tabellarisch oder graphisch darstellen will, muss man das Merkmal klassieren. Das bedeutet, man zerlegt den gesamten Wertebereich des Merkmals in k Klassen. Die Klassengrenzen bezeichnet man mit a₀<a₁<...<a_k.

a_i-a_i-1 (i = 1,2,...k) ist die Breite der i-ten Klasse, die man normalerweise für alle Klassen gleich groß wählt. Wenn der Wertebereich des Merkmals allerdings nach links bzw. rechts unbegrenzt ist, führt man eine linke bzw. eine rechte Restklasse ein, die nach links bzw. rechts unbegrenzt ist. Die Anzahl k der Klassen sollte nicht zu groß und nicht zu klein sein. Als Faustregel für die Wahl von k gilt

.

Die zugehörige graphische Darstellung ist das Histogramm. Hier werden die absoluten oder die relativen Häufigkeiten als Höhe eines Rechtecks über der gesamten Klasse dargestellt.

Beispiel 2.3

In Tabelle 2.4 liegen die bereits klassierten Altersangaben von 25 Patienten einer Klinischen Studie vor.

Tabelle 2.4: Häufigkeitsverteilung des klassierten stetigen Merkmals Alter in Jahren

Klasse	Alter in Jahren	Klassenmitte	Häufigkeiten absolut    /    relativ
1	(45,55]	50	2	2/24=.08
2	(55,65]	60	8	8/24=0.33
3	(65,75]	70	11	11/24=0.46
4	(75,85]	80	2	2/24=0.08
5	(85,95]	90	1	1/24=0.04
Summe	-----	------	24	1

Die runde Klammer besagt, dass die entsprechende Klassengrenze selbst nicht zur Klasse gehört, die eckige Klammer zeigt an, dass die entsprechende Klassengrenze dazugehört.

Das zugehörige Histogramm ist in Abbildung 2.5 zu sehen

Abbildung 2.5: Histogramm für das Merkmal Alter in Jahren

Applet - Histogramm mit veränderbarer Klassenbreite

Applet - Histogramm und Normalverteilungsplot

Applet - Explorative Datenanalyse -- Datensatz "AML" - Histogramm "Größe"

2.4 Statistische Maßzahlen

Liegen Daten x_i zu einem quantitativen Merkmal vor, läßt sich die darin enthaltene Information, übersichtlich in sogenannten statistischen Maßzahlen zusammenfassen. Man unterscheidet Lagemaße und Streuungsmaße.

Lagemaße charakterisieren den Durchschnitt von Daten. Die bekanntesten Lagemaße sind der arithmetische Mittelwert :

und der empirische Median .
Zur Berechnung des empirischen Medians müssen die Daten der Größe nach geordnet werden, d. h. man geht von der Urliste der Daten x₁, x₂, ..., x_n zur Rangliste x₍₁₎ x₍₂₎ ... x_(n) über, indem man die Daten der Größe nach ordnet, (i) heißt Rangzahl. Die Rangzahl gibt den Platz auf der Rangliste an. (1) ist die Rangzahl des kleinsten Wertes, (n) ist die Rangzahl des größten Wertes. Der empirische Median ist der Wert "in der Mitte" der Rangliste, d. h. die Hälfte der Meßwerte sind kleiner bzw. größer als der Median.

falls n ungerade,

und

falls n gerade.

Oft verwendet man für ein gerades n auch die Formel

.

Beim Vergleich von Mittelwert und empirischem Median stellt man fest, dass man zur Berechnung des Mittelwertes alle Daten x₁, x₂, ..., x_n vollständig kennen muss, während zur Berechnung des empirischen Medians grob gesprochen die erste Hälfte der Daten ausreicht.

Hat man z. B. eine Stichprobe vom Umfang n=3 und kennt x₁ = 2, x₂ = 4, und von x₃ weiß man nur, dass es größer ist als x₂ = 4, dann kann man den Mittelwert nicht angeben, aber für den empirischen Median gilt , gleichgültig wie groß x₃ ausfällt. Aus dieser Beobachtung folgt, dass der empirische Median robust ist gegenüber Ausreißern. Dieser Sachverhalt wird bei der Auswertung von Überlebenszeiten noch eine Rolle spielen.

Man kann den empirischen Median auch mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion F_n definieren.

F_n gibt für jedes x auf der Zahlengeraden an, wie groß der Anteil der Daten ist, die kleiner oder gleich x sind. Für x₍₁₎, den kleinsten Wert, gilt

^,

- aber nur falls alle Daten voneinander verschieden sind - für x_(n), den größten Wert, gilt

^.

Damit ist der empirische Median der kleinste Wert, für den gilt

^.

Entsprechend definiert man mithilfe der empirischen Verteilungsfunktion als weitere Lagemaße die sogenannten empirischen Quantile x_p (0<p<1) : x_p ist der kleinste Wert, für den gilt: F_n(x_p) >= p. Insbesondere werden x_0.25 und x_0.75 betrachtet. x_0.25 heißt 1. Quartil, x_0.75 3. Quartil. In dieser Terminologie ist der empirische Median das 2. Quartil

In Analogie zur Berechnung des Medians werden die Quartile oft folgendermaßen berechnet. Die gesamte Rangliste wird in zwei Hälften geteilt. Das erste Quartil ist der Wert "in der Mitte" der ersten Hälfte der Rangliste, d. h. die Hälfte der halbierten Meßreihe sind kleiner bzw. größer als das erste Quartil. Analog wird das 3. Quartil berechnet. Das oben beim Median erwähnte Verfahren bei geraden Anzahlen den Mittelwert der Rangwerte (n/2) und (n/2 +1) zu verwenden, wird oft auch bei der Quartilsberechnung benutzt.

Streuungsmaße sind Maßzahlen für die Abweichung der Meßwerte vom Durchschnittswert. Die bekanntesten Streuungsmaße sind die empirische Varianz s²

und die empirische Standardabweichung

Wegen des Quadrierens lässt sich die empirische Varianz als Zahlwert anschaulich kaum interpretierten, während sich die empirische Standardabweichung grob als mittlere Abweichung der Daten von ihrem Mittelwert deuten lässt.

Als weitere Streuungsmaße betrachtet man die empirische Spannweite R (engl.: range):

R = x_max-x_min = x_(n)-x₍₁₎

und den empirischen Interquartilsabstand

q = x_0.75-x_0.25 .

Die empirische Spannweite ist offenbar extrem ausreißerempfindlich, der empirische Interquartilabstand ist ein stabileres Streuungsmaß.

Mit dem Adjektiv "empirisch" bei den Maßzahlen, soll betont werden, dass sich diese Maßzahlen tatsächlich aus der Stichprobe berechnen lassen. Später sollen sie den analogen Maßzahlen der Grundgesamtheit gegenübergestellt werden, die sich zumeist nicht berechnen lassen. Vielmehr werden die empirischen Maßzahlen der Stichprobe als Schätzwerte für die theoretischen Maßzahlen der Grundgesamtheit dienen. Wenn aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, ob die Grundgesamtheit oder die Stichprobe gemeint ist, soll in Zukunft das Adjektiv empirisch entfallen.

Beispiel 2.4

In Tabelle 2.5 finden Sie für 16 weibliche Patienten einer Klinischen Studie die Angaben zur Körpergröße in cm. Die Daten liegen in Form einer Rangliste vor, d. h. sie sind bereits aufsteigend sortiert.

Tabelle 2.5: Körpergröße von 16 Patienten

Lfd. Nr. i	Größe			emp. Verteilungsfunktion
1	155	-10.1875	103.785	1/16 = 0.0625
2	158	-7.1875	51.660
3	158	-7.1875	51.660	3/16 = 0.1875
4	159	-6.1875	38.285	4/16 = 0.2500
5	162	-3.1875	10.160	5/16 = 0.3125
6	165	-0.1875	0.035
7	165	-0.1875	0.035
8	165	-0.1875	0.035
9	165	-0.1875	0.035	9/16 = 0.5625
10	166	0.8125	0.660
11	166	0.8125	0.660	11/16 = 0.6875
12	167	1.8125	3.285	12/16=0.7500
13	170	4.8125	23.160
14	170	4.8125	23.160	14/16=0.8750
15	176	10.8125	116.910
16	176	10.8125	116.910	16/16=1.0000
Summe	2643	0.0000	540.437

Aus den Werten der Tabelle 2.5 erhält man die folgende graphische Darstellung der empirischen Verteilungsfunktion.

Abbildung 2.6: Empirische Verteilungsfunktion für das Merkmal Größe

Applet - Explorative Datenanalyse -- Datensatz "AML" - Verteilungsfunktion "Größe"

Aus den Werten der Tabelle 2.5 erhält man die folgenden Lagemaße und Streungsmaße.

Lagemaße

empirisches Minimum  x_min = 155

empirisches 0.25-Quantil (1. Quartil)  x_0.25 = 159

alternativ 0.5*(x₍₄₎ + x₍₅₎) =160.5

^{empirischer Median (2. Quartil) 165}

alternativ x_0.5 =165

empirisches 0.75-Quantil (3. Quartil) x_0.75 = 167

alternativ 0.5*(x₍₁₂₎ + x₍₁₃₎) =168.5

empirisches Maximum x_max = 176

^{Mittelwert 165.1875}

Streuungsmaße

empirische Spannweite (Range) R = x_max-x_min = 21

empirischer Interquartilsabstand q = x_0.75-x_0.25 = 8

^{empirische Varianz 36.0292}

^{empirische Standardabweichung 6.0024}

Javascript - Statistische Maßzahlen

Applet - Explorative Datenanalyse -- Datensatz "AML" - Basisstatistik "Größe"

2.5 Boxplot

Der Boxplot ist eine graphische Darstellung, mit der man sich einen guten Überblick über die Verteilung der Daten einer Stichprobe verschaffen kann.

In einem Koordinatensystem, an dessen y-Achse eine Skala für das betrachtete Merkmal abgetragen ist, wird der Interquartilsabstand q als Kasten (engl.: box) eingezeichnet. Vom oberen Ende des Kastens wird eine Strecke bis zum maximalen Wert gezeichnet, die aber nicht länger als das 1.5-fache des Interquartilsabstandes gezogen wird. Falls es Werte gibt, die mehr als 1.5x q vom oberen Ende entfernt sind, so werden diese einzeln als Punkte eingetragen.

Entsprechend verfährt man am unteren Ende des Kastens mit dem minimalen Wert. Zusätzlich wird die Position des empirischen Medians und manchmal auch die des Mittelwertes markiert. In dieser Definition umfasst der Kasten gerade die mittleren 50 % der Daten. Es gibt auch andere Varianten des Boxplots. Wenn man statistische Software benutzt, muss man prüfen, ob diese oder eine andere Definition benutzt wird.

Die Darstellung als Boxplot ist sehr nützlich, insbesondere dann, wenn man Untergruppen der Stichprobe vergleichen will.

Beispiel 2.5

Tabelle 2.6 enthält die statistischen Angaben für alle 140 Patienten (59 männliche, 81 weibliche) einer Studie.

Tabelle 2.6: Basisstatistik: Körpergröße

Größe	Geschlecht
	Männlich	Weiblich
N	57	76
fehlend	2	5
xmin	160.00	148.00
x0.25	171.00	160.00
	176.00	165.00
x0.75	180.00	170.00
xmax	190.00	180.00
	176.12	164.87
empirische Spannweite R	30.00	32.00
empirischer Interquartilsabstand q	9.00	10.00
s2	49.72	44.76
empirische Standardabweichung s	7.05	6.69

Aus den Angaben in Tabelle 2.6 erhält man in Abbildung 2.7 einen nach Geschlecht getrennten Boxplot für die Körpergröße. Hierbei wird die Lage des arithmetischen Mittels durch einen roten Punkt dargestellt.

Applet - Explorative Datenanalyse -- Datensatz "AML" - Boxplot "Größe" mit Split "Geschlecht"

Applet - Dot Plot, Diamond Plot, Box Plot

Die Quantile werden in der Medizin häufig angewandt z.B. zur Festlegung von Normbereichen. Abbildung 2.8 zeigt ein Diagramm, in das bei den Säuglingsvorsorgeuntersuchungen die Körpergröße in Abhängigkeit vom Alter eingetragen wird. Dargestellt sind das 0.03-Quantil, der Median und das 0.97-Quantil der Körpergröße in Abhängigkeit vom Alter des Kindes. Im Bereich zwischen den Quantilen befinden sich etwa 94% der Grundgesamtheit. Kinder, deren Körpergröße dauerhaft nicht in diesen Bereich fällt, gelten als auffällig groß bzw. auffällig klein. Bei ihnen wird untersucht, ob eine Entwicklungsstörung vorliegt.

 

Abbildung 2.8: Somatogramm

2.6 Häufigkeitsmaße in der Epidemiologie

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten epidemiologischen Maßzahlen definiert.

Die Neuerkrankungsrate oder Inzidenz einer bestimmten Krankheit ist der Anteil der Personen einer definierten Population, die in einem bestimmten Zeitraum (ZR) an dieser Krankheit neu erkranken:

Inzidenz = (Anzahl der neu Erkrankten im ZR)/(Anzahl der Personen der Population im ZR)

Die Prävalenz einer bestimmten Krankheit ist der Anteil der Personen einer definierten Population, die zu einem bestimmten Zeitpunkt (ZP) erkrankt sind:

Prävalenz = (Anzahl der Erkrankten zum ZP)/(Anzahl der Personen der Population zum ZP)

Die Todesrate oder Mortalität ist der Anteil der Personen einer definierten Population, die in einem bestimmten Zeitraum (meist 1 Jahr) sterben:

Mortalität = (Anzahl der Gestorbenen im ZR)/(Anzahl der Personen der Population im ZR)

Angaben über die Mortalität können auch auf eine bestimmte Krankheit bezogen sein:

Mortalität =(Anzahl der infolge der Krankheit Gestorbenen im ZR)/(Anzahl der Personen der Population im ZR)

Die Letalität ist der Anteil der an einer bestimmten Krankheit in einem bestimmten Zeitraum (meist 1 Jahr) Gestorbenen, bezogen auf die Gesamtanzahl der an der betrachteten Krankheit Erkrankten einer definierten Population:

Letalität = (Anzahl der an der Krankheit Gestorbenen im ZR)/(Anzahl der Erkrankten im ZR)

Die Letalität wird nur für akute Erkrankungen betrachtet, bei denen man davon ausgeht, dass die Erkrankung und deren Ausgang in der Regel in den gleichen Zeitraum fallen. Alle Maßzahlen sind relative Häufigkeiten und beziehen sich auf eine definierte Grundgesamtheit(Population) und einen definierten Zeitraum. Inwieweit die jeweils berechnete Maßzahl sinnvoll interpretiert werden kann, muss im Einzelfall geprüft werden: